[Anfang 1912]

Mon cher Collègue,

J'ai examiné le mémoire de M March que vous avez eu la bonté de m'envoyer. J'ai découvert l'origine de l'erreur de M. March.

A la page 39 de sa dissertation il envisage une certaine intégral (94) que j'écrirai pour abrèger. \begin{displaymath} \Pi_1 = \int F(\alpha) d\alpha \end{displaymath} l'intégrale est prise le long de la contour [Skizze] OMN$\infty$. Comme $\varrho$ est très grand, il remplace $F(\alpha)$ par sa valeur approchée.

/2/ Soit $\Phi(\alpha)$ cette valeur approchée, cela veut dire que l'on a: \begin{displaymath} F(\alpha) = \Phi(\alpha) (1 + \varepsilon) \end{displaymath} $\varepsilon$ étant très petit de l'ordre de $\frac{1}{\varrho}$. M. March obtient ainsi l'intégrale de la page 42, l'intégrale (100) que j'écris pour abrèger \begin{displaymath} \int \Phi(\alpha) d\alpha \end{displaymath} et qu'il regarde comme une bonne approximation de (94).

Pour que cette vue f–t exacte, il faudrait que l'erreur commise: \begin{displaymath} \Delta = \int \varepsilon \Phi(\alpha) d\alpha \end{displaymath} f–t négligeable devant l'intégrale (100) elle-même. Or il n'en est pas ainsi. Cette intégrale (100) calculée page 43 à la formule (101) est de l'ordre de $\frac{1}{\varrho}$. Quel est l'ordre de la quantité sous le signe $\int$ \begin{displaymath} \varepsilon \Phi(\alpha)? \end{displaymath} $\Phi(\alpha)$ contient le facteur $\cos(\alpha \vartheta - \frac{\pi}{4})$ /3/ lequel est de l'ordre de $e^{\beta \vartheta}$, $\beta$ étant la partie imaginaire de $\alpha$, laquelle peut attendre $\varrho$. Donc $\varepsilon\Phi(\alpha)$ est très petit par rapport à $\Phi(\alpha)$, mais très grand par rapport à $\frac{1}{\varrho}$, c'est à dire par rapport à (100). L'intégrale des valeurs absolues \begin{displaymath} \int |\varepsilon \Phi(\alpha) d\alpha| \end{displaymath} serait de l'ordre de $\frac{e^{\varrho \vartheta}}{\varrho^3}$ et c'est par suite de compensation, que $\Delta$ est seulement de l'ordre de $\frac{1}{\varrho}$, à peu près égale et de signe contraire à (100) de facon que la valeur exacte (94) soit très petite par rapport à la soi disant valeur approchée (100).

Je profite de l'occasion pour me rappeler à votre bon souvenir

Votre bien dévoué Collègue
Poincaré